Barisan Aritmetika Bertingkat - Bukan Sekedar Rumus, Mari Pahami Konsepnya

Sebagai pengantar, perhatikan beberapa contoh barisan bilangan berikut:

$7, 10, 13, 16, 19, \cdots$
$2, 4, 8, 16, 32, \cdots$
$0, 3, 8, 15, 24, \cdots$
$1, 3, 11, 31, 69, 131, \cdots$

Dari keempat contoh barisan bilangan di atas, bisakah kalian menyebutkan satu persatu jenis barisan bilangan tersebut? oke jawabannya tepat sekali, contoh pertama merupakan barisan aritmetika, dan contoh kedua adalah barisan geometri, lalu contoh yang ketiga dan keempat?

Barisan bilangan pada contoh ketiga dan keempat merupakan contoh barisan aritmetika bertingkat sebab selisih setiap suku barisan tersebut membentuk barisan aritmetika. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut:

Contoh Barisan Aritmetika Bertingkat Satu

selisih setiap suku berurutan $(U_n-U_{n-1})$ bernilai tetap (konsatan), barisan bilangan ini merupakan barisan aritmetika bertingkat satu, atau cukup kita sebut sebagai barisan aritmetika.

Contoh Barisan Aritmetika Bertingkat Dua

Pada barisan ini selisih tetap (konstan) tidak kita peroleh dari selisih suku-sukunya, namun diperoleh pada "tingkatan kedua", oleh karena itu, barisan seperti ini disebut sebagai barisan aritmetika bertingkat dua.

Contoh Barisan Aritmetika Bertingkat Tiga

Pada barisan ini selisih tetap (konstan) tidak kita peroleh dari selisih suku-sukunya, namun diperoleh pada "tingkatan ketiga", oleh karena itu, barisan seperti ini disebut sebagai barisan aritmetika bertingkat tiga.

Saya rasa tiga contoh di atas sudah cukup. Namun jangan disimpulkan bahwa barisan aritmetika hanya sampai tingkat tiga, sebenarnya masih bisa kita teruskan barisan aritmetika bertingkat empat, lima, enam dan seterusnya. Intinya, contoh-contoh di atas saya sajikan hanya untuk memberi "gambaran" seperti apa barisan aritmetika bertingkat itu. Jika sudah paham, mari kita lanjutkan materinya

Hubungan Fungsi Polinomial dengan Barisan Aritmetika Bertingkat

Misal saya berikan beberapa fungsi $U_n$ yang menyatakan suku ke $n$ dari suatu barisan bilangan (dalam variabel $n$), dengan derajat (pangkat tertinggi) berbeda-beda sebagai berikut:

$U_n=4n-1$

$U_n=4n-1$ merupakan fungsi bentuk polinomial berderajat 1, jika kita substitusi $n$ dengan bilangan asli berurutan, maka kita peroleh:

$U_1=4(1)-1=4-1=3$

$U_2=4(2)-1=8-1=7$

$U_3=4(3)-1=12-1=11$

$U_4=4(4)-1=16-1=15$

$U_5=4(5)-1=21-1=19$

dan seterusnya.

perhatikan hasilnya, ternyata memiliki selisih yang tetap (membentuk barisan aritmetika).

$U_n=2n^2-n+4$

$U_n=2n^2-n+4$ merupakan fungsi bentuk polinomial berderajat 2, jika kita substitusi $n$ dengan bilangan asli berurutan, maka kita peroleh:

$U_1=2(1)^2-1+4=5$

$U_2=2(2)^2-2+4=10$

$U_3=2(3)^2-3+4=19$

$U_4=2(4)^2-4+4=32$

$U_5=2(5)^2-5+4=49$

atau bisa kita tulis:

Perhatikan, ternyata untuk fungsi polinomial berderajat 2, menghasilkan barisan bilangan berderajat 2 juga.

$U_n=n^3-3n^2+4n-1$

Dengan cara yang sama dengan dua contoh sebelumnya, maka kita peroleh:

dari ketiga contoh di atas, bisa kita tarik kesimpulan:

Suku ke $n$ barisan aritmetika bertingkat satu akan berbentuk fungsi polinomial berderajat satu, suku ke $n$ barisan aritmetika bertingkat dua akan berbentuk fungsi polinomial berderajat dua dan suku ke $n$ barisan aritmetika bertingkat tiga akan berbentuk fungsi polinomial berderajat tiga, atau secara umum bisa kita tulis:

Jika $U_n$ menyatakan suku ke $n$ suatu barisan bilangan $U_n=f(n)$ dengan $f$ adalah fungsi berbentuk polinomial dalam variabel $n$ dengan derajat (pangkat tertinggi) $k$, maka $U_n$ adalah barisan aritmetika berderajat $k$

Menentukan Rumus $U_n$ Barisan Aritmetika Bertingkat

$\blacksquare$ Barisan Aritmetika Tingkat Satu
Kita telah mengetahui bahwa rumus untuk menentukan suku ke-$n$ dari barisan aritmetika tingkat satu akan berupa fungsi polinomial berderajat satu, kita misalkan fungsi tersebut adalah :
$$U_n=an+b$$
Jika kita substitusi $n=1, 2, 3, \cdots $ ke $U_n=an+b$ maka kita peroleh:

Contoh Penggunaan:

Tentukan suku ke 20 dari barisan bilangan $5, 9, 13, 17, 21, \cdots $

Jawab:

Perhatikan bagian yang saya beri "kotak", dari sana bisa kita lihat $a=4$ dan $a+b=5\Rightarrow 4+b=5\Rightarrow b=1$

kemudian substitusikan $a=4$ dan $b=1$ ke $U_n=an+b$, maka kita peroleh:

$$Un=4n+1$$

maka suku ke 20 adalah $U_{20}=4(20)+1=81$

$\blacksquare$ Barisan Aritmetika Tingkat Dua
Kita telah mengetahui bahwa rumus untuk menentukan suku ke-$n$ dari barisan aritmetika tingkat satu akan berupa fungsi polinomial berderajat dua, kita misalkan fungsi tersebut adalah :
$$U_n=an^2+bn+c$$
Jika kita substitusi $n=1, 2, 3, \cdots $ ke $U_n=an^2+bn+c$ maka kita peroleh:

Contoh Penggunaan:

Tentukan suku ke-$10$ dari barisan bilangan $4, 12, 26, 46, 72, 104, \cdots $

Jawab:

Perhatikan bagian yang saya beri "kotak", dari sana bisa kita lihat:

$2a=6\Rightarrow a=3$

$3a+b=8\Rightarrow 3(3)+b=8\Rightarrow b=2$

$a+b+c=4\Rightarrow 3+2+c=4\Rightarrow c=-1$

Kemudian kita substitusi $a=3$, $b=2$ dan $c=-1$ ke persamaan $U_n=an^2+bn+c$, maka kita peroleh:

$$U_n=3n^2+2n-1$$

dengan demikian suku ke $10$ adalah:

$U_10=3(10)^2+2(10)-1=319$

$\blacksquare$ Barisan Aritmetika Tingkat Tiga

Kita telah mengetahui bahwa rumus untuk menentukan suku ke-$n$ dari barisan aritmetika tingkat tiga akan berupa fungsi polinomial berderajat tiga, kita misalkan fungsi tersebut adalah :
$$U_n=an^3+bn^2+cn+d$$
Jika kita substitusi $n=1, 2, 3, \cdots $ ke $U_n=an^2+bn+c$ maka kita peroleh:

Contoh Penggunaan:
Tentukan rumus suku ke-$n$ dari $1, 3, 11, 31, 69, 131, \cdots$

Jawab:

Perhatikan bagian yang saya beri "kotak", dari sana bisa kita lihat:

$6a=6\Rightarrow a=1$

$12a+2b=6\Rightarrow 12(1)+2b=6 \Rightarrow b=-3$

$7a+3b+c=2 \Rightarrow 7(1)+3(-3)+c=2 \Rightarrow c=4$

$a+b+c+d=1 \Rightarrow 1+(-3)+4+d=1 \Rightarrow d=-1$

selanjutnya, kita substitusikan $a=1$, $b=-3$, $c=4$ dan $d=-1$ ke persamaan $U_n=an^3+bn^2+cn+d$ maka kita peroleh:

$$U_n=n^3-3n^2+4n-1$$

Oke, kita sudahi dulu materinya sampai sini 😊, tapi materi ini belum selesai, pada postingan berikutnya insya Alloh saya akan membahas bagaimana cara menurunkan suatu rumus umum barisan aritmetika bertingkat. Jadi, kunjungi terus blog ini.

Untuk latihan kalian bisa coba soal berikut:
Carilah rumus suku ke-$n$ dari setiap barisan aritmetika bertingkat berikut: