Beranda / Bank Soal / Matematika SMA / Matematika SMP / Olimpiade

Soal dan Pembahasan OSN 2018 Tingkat Kabupaten Matematika SMP (*Kode: OSN.KK.M.R4)

OSN.KK.M.R4$(1).$ Pada suatu data terdapat 25 bilangan bulat positif. Bilangan terbesar pada data tersebut adalah 55. Median dari data tersebut adalah 30. Rata-rata terbesar yang mungkin dari data tersebut adalah...
$(A)\ 40$
$(B)\ 42$
$(C)\ 45$
$(D)\ 50$Alternatif Pembahasan: show

Kita misalkan 25 bilangan bulat positif setelah diurutkan dari yang terkecil adalah $x_{1},x_{2},x_{3},\cdots,x_{25}$.
Bilangan terbesar: $x_{25}=55$
Median: $x_{13}=30$
Rata-rata:
$\bar{x}=\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{25}}{25}$
Agar rata-rata yang dihasilkan adalah yang terbesar dan masih memenuhi syarat yaitu bilangan terbesar $55$ dan median $30$, maka kita anggap saja $x_{1}$ sampai $x_{13}$ nilainya adalah $30$, lalu $x_{14}$ sampai $x_{25}$ nilainya adalah $55$.

Sekarang kita coba hitung nilai rata-rata terbesar yang mungkin adalah:
$\begin{align} \bar{x} & = \frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{25}}{25} \\
& = \frac{13 \times 30+ 12 \times 55}{25} \\
& = \frac{390+660}{25} \\
& = \frac{1050}{25} \\
& = 42 \end{align}$

$(2).$ Rata-rata usia sepasang suami istri pada saat mereka menikah adalah 25 tahun. Rata-rata usia keluarga pada saat anak pertama mereka lahir adalah 18 tahun. Rata-rata usia keluarga pada saat anak kedua lahir adalah 15 tahun. Rata-rata usia keluarga pada saat anak ketiga dan keempat lahir [kembar] adalah 12 tahun. Jika saat ini rata-rata usia enam orang ini adalah 16 tahun, maka usia anak pertama mereka adalah... tahun.
$(A)\ 7$
$(B)\ 8$
$(C)\ 9$
$(D)\ 10$Alternatif Pembahasan: show

Rata-rata usia suami istri saat menikah adalah $25$ tahun.
Misal usia suami saat menikah adalah $s$, dan usia istri saat menikah adalah $i$.
$\frac{s+i}{2}=25$
$s+i=50$
Rata-rata usia keluarga saat anak pertama lahir adalah $18$ tahun;
Misal anak pertama lahir setelah usia pernikahan $a$ tahun, dan anak baru lahir kita anggap berusia $0$ tahun.
$\frac{(s+a)+(i+a)+0}{3}=18$
$s+i+2a=54$
$50+2a=54$
$2a=4\ \Rightarrow a=2$
Anak pertama lahir setelah perkawinan berumur $2$ tahun, sehingga umur $s+i=50+4=54$;
Rata-rata usia keluarga saat anak kedua lahir adalah $15$ tahun.
Misal anak kedua lahir setelah usia anak pertama $b$ tahun, dan anak baru lahir kita anggap berusia $0$ tahun.
$\frac{(s+b)+(i+b)+b+0}{4}=15$
$s+i+3b=60$
$54+3b=60$
$3b=6\ \Rightarrow b=2$
Anak kedua lahir setelah anak pertama berusia $2$ tahun, sehingga usia $s+i=54+4=58$, dan usia anak kedua $0$ tahun
Rata-rata usia keluarga saat anak ketiga dan keempat lahir [kembar] adalah $12$ tahun.
Misal anak ketiga dan keempat lahir setelah usia anak kedua $c$ tahun, dan anak baru lahir kita anggap berusia $0$ tahun.
$\frac{(s+c)+(i+c)+(2+c)+c+2 \times 0}{6}=12$
$s+i+4c+2=72$
$58+4c+2=72$
$4c=12\ \Rightarrow c=3$
Anak ketiga dan keempat lahir setelah usia anak kedua $3$ tahun, sehingga umur $s+i=58+6=64$, dan usia anak pertama $5$ tahun;
Rata-rata usia enam orang saat ini adalah $16$ tahun.
Misal usia anak ketiga dan keempat saat ini adalah $d$ tahun, maka usia anak kedua $3+d$, usia anak pertama $5+d$, dan usia $s+i=64+2d$.
$\frac{s+i+a1+a2+a3+a4}{6}=16$
$\frac{(64+2d)+(5+d)+(3+d)+(d)+(d)}{6}=16$
$\frac{64+2d+5+d+3+d+d+d}{6}=16$
$\frac{72+6d}{6}=16$
$72+6d=96$
$6d=24\ \Rightarrow\ d=4$
Pada saat ini, usia anak pertama adalah $5+4=9$ tahun;

$(3).$ Pada sebuah laci terdapat kaos kaki berwarna putih dan berwarna hitam. Jika dua kaos kaki diambil secara acak, maka peluang terpilihnya kedua kaos kaki berwarna putih adalah $\frac{1}{2}$. Jika banyak kaos kaki berwarna hitam adalah genap, maka paling sedikit kaos kaki berwarna putih adalah ...
$(A)\ 12$
$(B)\ 15$
$(C)\ 18$
$(D)\ 21$Alternatif Pembahasan: show

Catatan kecil tentang aturan Combinasi $C_{r}^{p}=\binom{p}{r}=\frac{p!}{(p-r)!\ r!}$.
Misal banyak kaos kaki putih adalah $p$ dan banyak kaos kaki hitam adalah $h$ maka banyak kaos kaki di dalam laci adalah $p+h$.

$S:$ diambil 2 kaos kaki sekaligus.
$n(S)= \binom{p+h}{2}$

$E:$ terpilih kedua kaos kaki putih.
$n(E) =\binom{p}{2}$

$P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}$
$\frac{1}{2}=\frac{\binom{p}{2}}{\binom{p+h}{2}}$
$\frac{1}{2}=\frac{p(p-1)}{(p+h)(p+h-1)}$
$2p^{2}-2p=p^{2}+2ph+h^{2}-p-h$
$p^{2}-(2h+1)p+h-h^{2}=0$

Dengan menggunakan rumus abc [Rumus Al-Kharizmi]
$x_{12}=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
$p=\frac{2h+1+\sqrt{8h^2+1}}{2}$.

Untuk $h$ bilangan genap

$h=2$ maka $p=\frac{4+1+\sqrt{32+1}}{2}$
$p$ bukan bilangan bulat, maka untuk $h=2$ tidak memenuhi.
$h=4$ maka $p=\frac{8+1+\sqrt{128+1}}{2}$
$p$ bukan bilangan bulat, maka untuk $h=4$ tidak memenuhi.
$h=6$ maka $p=\frac{12+1+\sqrt{188+1}}{2}=15$
$ \therefore $ Nilai minimum dari $p=15$

$(4).$ Salah satu contoh situasi untuk sistem persamaan $2x+y = 10000$ dan $x+3y=20000$ adalah...
$(A)$ Dua orang siswa membeli pulpen dan buku tulis seharga Rp10.000,00. Salah seorang siswa tersebut membeli pensil dan tiga buku tulis seharga Rp20.000,00. Berapakah harga masing-masing sebuah pulpen dan sebuah buku tulis?
$(B)$ Dua orang siswa membeli pulpen dan tiga buah buku tulis seharga Rp10.000,00. Selain itu, dia juga membeli dua buah pulpen dan sebuah buku tulis untuk adiknya seharga Rp20.000,00. Berapakah harga masing-masing sebuah pulpen dan sebuah buku tulis?
$(C)$ Seorang siswa akan membeli dua buah pulpen dan tiga buah buku tulis. Siswa tersebut memiliki uang Rp30.000,00. Berapakah harga masing-masing sebuah pulpen dan sebuah buku tulis?
$(D)$ Seorang membeli sebuah pulpen dan tiga buah buku tulis seharga Rp20.000,00. Selain itu, dia juga membeli dua buah pulpen dan sebuah buku tulis untuk adiknya seharga Rp10.000,00. Berapakah harga masing-masing sebuah pulpen dan sebuah buku tulis?
Alternatif Pembahasan: show

$(A)\ x+y=10000$ dan $x+3y=20000$
$(B)\ x+3y=10000$ dan $2x+y=20000$
$(C)\ 2x+3y \leq 30000$
$(D)\ 2x+y = 10000$ dan $x+3y=20000$

$(5).$ Semua bilangan real $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $x+3-4 \sqrt{x-5} \geq 5$ adalah...
$(A)\ 5 \leq x \leq 14$
$(B)\ x \leq 6 $ atau $x\geq 14$
$(C)\ 5 \leq x\leq 6 $ atau $x\geq 14$
$(D)\ 0 \leq x\leq 6 $ atau $x\geq 14$Alternatif Pembahasan: show

$x+3-4 \sqrt{x-5} \geq 5$
$x+3-5 \geq 4 \sqrt{x-5}$
$x-2 \geq 4 \sqrt{x-5}$
$\text{kedua ruas dikuadratkan}$
$(x-2)^{2} \geq (4 \sqrt{x-5})^{2}$
$x^2-4x+4 \geq 16(x-5)$
$x^2-4x+4 \geq 16x-80$
$x^2-4x+4-16x+80 \geq 0$
$x^2-20x+84 \geq 0$
$(x-14)(x-6) \geq 0$
Dengan menggunakan aturan pada pertidaksamaan kuadrat, kita peroleh batasan nilai $x$ yaitu:
$x \leq 6$ atau $x \geq 14$

Berikutnya kita perlu perhatikan syarat bentuk akar $\sqrt{x-5}$ agar terdefenisi yaitu $x-5 > 0$.

Untuk menentukan batasan nilai $x$, kita hanya tinggal menggabungkan batasan-batasan yang sudah kita peroleh, kita dapatkan;

oal olimpiade matematika SMP untuk tingkat kabupaten tahun Soal dan Pembahasan OSN 2018 Tingkat Kabupaten Matematika SMP (*Kode: OSN.KK.M.R4)

Hasil akhir batasan nilai $x$ adalah $5\leq x\leq 6 $ atau $x\geq 14$

$(6).$ Grafik fungsi kuadrat $y=a(x-1)^{2}+a$ dengan $a \neq 0$, tidak berpotongan dengan grafik fungsi kuadrat $y=(1-a^{2})x^{2}+2a+1$, jika...
$(A)\ -1 < a < 0$ atau $0 < a < \frac{1}{2}$
$(B)\ -1 < a < 0$ atau $0 < a < 1$
$(C)\ -1 < a < \frac{1}{2}$ atau $\frac{1}{2} < a < 1$
$(D)\ 1 < a < \frac{1}{2}$ atau $a > 1$Alternatif Pembahasan: show

Persamaan Kuadrat persekutuan kita peroleh dari persamaan berikut;
\begin{split}y &= y\\
a(x-1)^{2}+a &=(1-a^{2})x^{2}+2a+1\\
a(x^{2}-2x+1)+a &=(1-a^{2})x^{2}+2a+1\\
ax^{2}-2ax+2a &=(1-a^{2})x^{2}+2a+1\\
ax^{2}-2ax+2a-(1-a^{2})x^{2}-2a-1 &=0\\
ax^{2}+(a^{2}-1)x^{2}-2ax-1 &=0\\
(a^{2}+a-1)x^{2}-2ax-1 &=0 \end{split}
Agar kedua grafik tidak berpotongan, maka nilai Diskriminan harus lebih kecil dari nol $(𝐷 < 0)$
$\begin{align}
D & = b^{2}-4ac \\
& = (-2a)^{2}-4(a^{2}+a-1)(-1) \\
& = 4a^{2}+4a^{2}+4a-4 \\
& = 8a^{2}+4a-4 \\
& = 4(2a-1)(a+1)
\end{align}$
$4(2a-1)(a+1) < 0$
$(2a-1)(a+1) < 0$
HP: $-1 < a < \frac{1}{2}$
Karena $a \neq 0$, maka nilai $a$ yang memenuhi adalah
$-1 < a < 0$ atau $0 < a < \frac{1}{2}$

$(7).$ Nilai sudut $x$ dan $y$ pada gambar berikut adalah...

$(A)\ x=74^{\circ};\ y=104^{\circ}$
$(B)\ x=37^{\circ};\ y=104^{\circ}$
$(C)\ x=74^{\circ};\ y=114^{\circ}$
$(D)\ x=37^{\circ};\ y=106^{\circ}$Alternatif Pembahasan: show

Dengan memperhatikan gambar, kita mulai dari segitiga yang terbentuk. Besar sudut dalam sebuah segitiga adalah $180^{\circ}$ sehingga kita peroleh:
$61^{\circ}+2x+(180^{\circ}-135^{\circ})=180^{\circ}$
$61^{\circ}+2x+45^{\circ}=180^{\circ}$
$2x=180^{\circ}-106^{\circ}$
$2x=74^{\circ}$
$x=37^{\circ}$

$y=180^{\circ}-2x$
$y=180^{\circ}-74^{\circ}$
$y=106^{\circ}$

$(8).$ Diketahui tabel distribusi nilai siswa kelas A dan kelas B sebagai berikut:

Pernyataan berikut yang benar adalah...
$(A)$ Median nilai ulangan sama untuk kelas A dan kelas B
$(B)$ Mean nilai ulangan sama untuk kelas A dan kelas B
$(C)$ Modus nilai ulangan sama untuk kelas A dan kelas B
$(D)$ Jawaban A, B, dan C salahAlternatif Pembahasan: show

Coba kita hitung Mean, Median dan Modus dari nilai ulangan dari kelas A dan kelas B seperti permintaan pada pilihan soal.

Mean [rata-rata]
$\bar{x}=\frac{\text{Jumlah Data}}{Banyak data}$
$\bar{x}_{A}=\frac{2920}{36}=81,11$
$\bar{x}_{B}=\frac{2885}{36}=80,13$
Modus [Nilai paling sering muncul]
$Mo_{A}=80$
$Mo_{B}=85$
Median [Nilai tengah]
Banyak data sama yaitu 36, Nilai median berada pada nilai ke-$\frac{f_{18}+f_{19}}{2}$
$Me_{A}=\frac{80+80}{2}=80$
$Me_{B}=\frac{80+80}{2}=80$

$(9).$ Misalkan $U_{n}$ dan $S_{n}$ masing-masing menyatakan suku ke-n dan jumlah $n$ suku pertama suatu barisan. Jika $S_{n}=\frac{n^{2}-n}{2^{n}}$, maka $U_{2}-U_{4}+U_{6}=\cdots$
$(A)\ \frac{6}{32}$
$(B)\ \frac{11}{32}$
$(C)\ \frac{1}{2}$
$(D)\ \frac{21}{32}$Alternatif Pembahasan: show

Sekarang kita coba bermain dengan suatu barisan bilangan;
$S_{n}=\frac{n^{2}-n}{2^{n}}$
$S_{1}=\frac{1^{2}-1}{2^{1}}=0$
$S_{2}=\frac{2^{2}-2}{2^{2}}=\frac{1}{2}$
$U_{2}=S_{2}-S_{2}=\frac{1}{2}-0=\frac{1}{2}$

$S_{3}=\frac{3^{2}-3}{2^{3}}=\frac{3}{4}$
$S_{4}=\frac{4^{2}-4}{2^{4}}=\frac{3}{4}$
$U_{4}=S_{4}-S_{3}=\frac{3}{4}-\frac{3}{4}=0$

$S_{5}=\frac{5^{2}-5}{2^{5}}=\frac{20}{32}$
$S_{6}=\frac{6^{2}-6}{2^{6}}=\frac{15}{32}$
$U_{6}=S_{6}-S_{5}=\frac{15}{32}-\frac{20}{32}=-\frac{5}{32}$

$U_{2}-U_{4}+U_{6}$
$=\frac{1}{2}+0-\frac{5}{32}$
$=\frac{11}{32}$

$(10).$ Jika $\frac{1}{n}-\frac{n}{6}+\frac{2}{n}+\frac{1}{3}=-\frac{1}{6}$, hasil kali semua nilai $n$ yang mungkin adalah...
$(A)\ 18$
$(B)\ 2$
$(C)\ -18$
$(D)\ -20$Alternatif Pembahasan: show

Soal sepertinya kembali mengajak kita untuk bermain-main di aljabar,..
\begin{split} \frac{1}{n}-\frac{n}{6}+\frac{2}{n}+\frac{1}{3} & =-\frac{1}{6} \\
\frac{1+2}{n}-\frac{n}{6} & =-\frac{1}{6}-\frac{1}{3} \\
\frac{3}{n}-\frac{n}{6} & =-\frac{3}{6} \\
\frac{18-n^{2}}{6n} & =-\frac{1}{2} \\
36-2n^{2} & =-6n \\
18-n^{2} & =-3n \\
n^{2}-3n-18 & =0 \\

n_{1} \times n_{2} & =\frac{c}{a} \\
& =\frac{-18}{1}=-18 \end{split}

$(11).$ Menjelang tahun baru, harga sebuah kacamata dipotong [didiskon] dua kali seperti dinyatakan pada tanda di samping. Seorang pembeli membayar sebesar Rp168.750,00 untuk kacamata tersebut. Berapa harga kacamata tersebut sebelum dipotong harganya?

$(A)\ Rp262.500,00$
$(B)\ Rp281.250,00$
$(C)\ Rp375.000,00$
$(D)\ Rp421.675,00$Alternatif Pembahasan: show

Misal Harga awal adalah $H_{o}$ dan Harga setelah diskon pertama adalah $H_{1}$
$\begin{split} H_{1} &= \frac{100}{100-10} \times 168.750 \\
&=\ \frac{100}{90} \times 168.750 \\
&=\ 187.500 \\

H_{o} &= \frac{100}{100-50} \times 187.500 \\
&=\ \frac{100}{50} \times 187.500 \\
&=\ 375.000 \end{split}$

$(12).$ Diketahui $x,\ y,\ \text{dan}\ z$ adalah tiga bilangan bulat positif. Tiga bilangan terurut $(x,\ y,\ z)$ yang memenuhi $(3x+y)^{2z} = 256$ ada sebanyak...
$(A)\ 6$
$(B)\ 90$
$(C)\ 91$
$(D)\ 128$Alternatif Pembahasan: show

Mari kita coba bermain dari bilangan-bilangan yang diberikan;
$(3x+y)^{2z}=256=2^{8}=4^{4}=16^{2}$

Kemungkinan I;
$(3x+y)^{2z}=2^{8}$, Tidak ada yang memenuhi karena $x,\ y,\ \text{dan}\ z$ adalah tiga bilangan bulat positif maka $3x+y > 3$;
Kemungkinan II;
$(3x+y)^{2z}=4^{4}$, diperoleh nilai $z=2$ dan $(3x+y)=4$.
Pasangan $(x,y)$ adalah $(1,1)$. Tiga bilangan terurut $(x,y,z)$ ada sebanyak 1;
Kemungkinan III;
$(3x+y)^{2z}=16^{2}$, diperoleh nilai $z=1$ dan $(3x+y)=16$
Pasangan $(x,y)$ adalah $(1,13),(2,10),(3,7),(4,4),(5,1)$. Tiga bilangan terurut $(x,y,z)$ ada sebanyak 5;
Kemungkinan IV;
$(3x+y)^{2z}=256^{1}$, Tidak ada yang memenuhi karena $x,\ y,\ \text{dan}\ z$ adalah tiga bilangan bulat positif maka $z > 0$;

Total banyak kemungkinan tiga bilangan terurut $(x,y,z)$ ada sebanyak $1+5=6$

$(13).$ Diketahui sisi-sisi trapesium adalah $5\ cm$, $7\ cm$, $7\ cm$, dan $13\ cm$. Pernyataan di bawah yang salah adalah...
$(A)$ Tinggi trapesium $= \sqrt{33}\ cm$
$(B)$ Tinggi trapesium $= 2\sqrt{6}\ cm$
$(C)$ Luas trapesium $= 10\sqrt{6}\ cm^{2}$
$(D)$ Luas trapesium $= 9\sqrt{33}\ cm^{2}$Alternatif Pembahasan: show

Trapesium dengan panjang sisi $5\ cm$, $7\ cm$, $7\ cm$, dan $13\ cm$, yang bisa kita bentuk ada 2 kemungkinan;
Kemungkinan Pertama

Dari gambar di atas tinggi dan luas trapesium adalah;
$t=\sqrt{7^{2}-4^{2}}$
$t=\sqrt{49-16}$
$t=\sqrt{33}\ (A)$

$L=\frac{1}{2} (5+13) \cdot \sqrt{33}$
$L=9 \sqrt{33} \ (D)$

Kemungkinan Kedua

Dari gambar di atas tinggi dan luas trapesium adalah;
$t=\sqrt{7^{2}-(6-x)^{2}}$
$t=\sqrt{49-36+12x-x^{2}}$
$t=\sqrt{13+12x-x^{2}}$

$t=\sqrt{5^{2}-x^{2}}$
$t=\sqrt{25-x^{2}}$

$\sqrt{25-x^{2}}=\sqrt{13+12x-x^{2}}$
$25-x^{2}=13+12x-x^{2}$
$25=13+12x$
$x=1$
$t=\sqrt{24}=2\sqrt{6}\ (B)$

$L=\frac{1}{2} (7+13) \cdot 2\sqrt{6}$
$L=20 \sqrt{6}$

Pernyataan yang salah pada pilihan jawaban pada soal adalah pernyataan yang menyatakan Luas trapesium $= 10\sqrt{6}\ cm^{2}$

$(14).$ Bilangan prima $p$ dan $q$ masing-masing dua digit. Hasil penjumlahan $p$ dan $q$ merupakan bilangan dua digit yang digitnya sama. Jika bilangan tiga digit $r$ merupakan perkalian $p$ dan $q$, maka dua nilai $r$ yang mungkin adalah ...
$(A)\ 121\ \text{atau}\ 143$
$(B)\ 169\ \text{atau}\ 689$
$(C)\ 403\ \text{atau}\ 989$
$(D)\ 481\ \text{atau}\ 121$
Alternatif Pembahasan: show

Disampaikan $p$ dan $q$ adalah bilangan prima dua digit, maka nilai $p$ dan $q$ adalah diantara: 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 91, dan 97.

Bilangan prima dua digit adalah bilangan ganjil sehingga $p+q$ bilangan genap dua digit yang digitnya sama, sehingga $p+q=22,44,66, \text{atau}\ 88$

Jika $p+q=22$, maka pasangan $(𝑝,𝑞)$ yang memenuhi adalah $(11,11)$
Nilai dari $𝑟=pq$ yang memenuhi adalah 121.
Jika $𝑝+𝑞=44$, maka pasangan $(𝑝,𝑞)$ yang memenuhi adalah $(13,31)$.
Nilai dari 𝑟 yang memenuhi adalah 403.
Jika $𝑝+𝑞=66$, maka pasangan $(𝑝,𝑞)$ yang memenuhi adalah $(13,53),\ (19,47),\ (23,43)$. Nilai dari $𝑟$ yang memenuhi adalah 689, 893, dan 989.
Jika $𝑝+𝑞=88$, maka $𝑟$ bukan bilangan tiga digit.

$(15).$ Jika $x$ dan $y$ adalah bilangan bulat positif dengan $y > 1$, sehingga $x^{y}=3^{18}5^{30}$, maka nilai $x-y$ yang mungkin adalah...
$(A)\ 84375$
$(B)\ 84369$
$(C)\ 84363$
$(D)\ 84357$Alternatif Pembahasan: show

Kita coba mulai menyelesaikan soal diatas dengan merubah $3^{18}5^{30}$ menjadi bilangan dengan bentuk $x^{y}$.
\begin{split}x^{y} &= 3^{18}5^{30}\\
&=\ (3^{3})^{6} \cdot (5^{5})^{6}\\
&=\ (3^{3} \cdot 5^{5})^{6}\\
&=\ (27 \cdot 3125)^{6}\\
&=\ 84375^{6}\end{split}
Dari bentuk bilangan berpangkat diatas kita peroleh nilai $x=84375$ dan $y=6$.
Nilai $x-y=84375-6=84369$

$(16).$ Sebuah wadah memuat 5 buah bola merah dan 3 bola putih. Seseorang mengambil bola tersebut sebanyak 3 kali, masing-masing dua bola setiap pengambilan tanpa pengembalian. Peluang bahwa setiap pengambilan, bola yang terambil berbeda warna adalah....
$(A)\ \frac{1}{448}$
$(B)\ \frac{7}{280}$
$(C)\ \frac{1}{56}$
$(D)\ \frac{1}{7}$Alternatif Pembahasan: show

Catatan kecil tentang aturan Combinasi $C_{r}^{p}=\binom{p}{r}=\frac{p!}{(p-r)!\ r!}$.
Bola diambil dua sekaligus tanpa pengembalian sebanyak tiga kali, maka peluang bahwa setiap pengambilan bola yang terambil beda warna dalam bahasa adalah peluang pertama beda warna dan peluang kedua beda warna dan peluang ketiga beda warna.

Peluang terambilnya bola dengan warna berbeda pada pengambilan pertama adalah;
$\begin{align} P(I) & = \frac{\binom{1}{5} \cdot \binom{1}{3}}{\binom{2}{8}} \\
& = \frac{5 \cdot 3}{28}=\frac{15}{28} \end{align}$
Peluang terambilnya bola dengan warna berbeda pada pengambilan pertama adalah;
$\begin{align} P(II) & = \frac{\binom{1}{4} \cdot \binom{1}{2}}{\binom{2}{6}} \\
& = \frac{4 \cdot 2}{15}=\frac{8}{15} \end{align}$
Peluang terambilnya bola dengan warna berbeda pada pengambilan pertama adalah;
$\begin{align} P(III) & = \frac{\binom{1}{3} \cdot \binom{1}{1}}{\binom{2}{4}} \\
& = \frac{3 \cdot 1}{6}=\frac{1}{2} \end{align}$

$\therefore$ Peluang terambilnya bola warna berbeda adalah $\frac{15}{28} \cdot \frac{8}{15} \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{7}$

$(17).$ Perhatikan gambar berikut ini:

Persamaan garis hasil transformasi $R[0,180^{\circ}]$ dilanjutkan dengan pencerminan $y =-x$ terhadap garis $AB$ adalah...
$(A)\ y=2x+4$
$(B)\ y=2x-4$
$(C)\ y=-2x+4$
$(D)\ y=-2x-4$Alternatif Pembahasan: show

Garis pada gambar melalui dua titik yaitu, $(0,2)$ dan $(4,4)$ maka persamaan garis yang terbentuk adalah:
\begin{align} \frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}} & = \frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}} \\
\frac{y-2}{4-2} & = \frac{x-0}{4-0} \\
\frac{y-2}{2} & = \frac{x}{4} \\
4y-8 & = 2x \\
2y-x-4 & = 0 \end{align}

Jika $(x,y)$ dirotasi dengan $R[0,180^{\circ}]$ maka bayangannya adalah:
$(x′,y′)=(-x,-y)$ $\Rightarrow$ $x′=-x$ dan $y′=-y$.

Jika $(x′,y′)$ dicerminkan terhadap garis $y=-x$ maka bayangannya adalah:
$(x′′,y′′)=(-y′,-x′)$ $\Rightarrow$ $x′′=-y′$ dan $y′′=-x′$.

Hasil rotasi dan pencerminan diatas kita substitusi ke persamaan garis;
\begin{align} 2y-x-4 & = 0 \\
2(-y′)-(-x′)-4 & = 0 \\
-2y′+x′-4 & = 0 \\
-2(-x′′)+(-y′′)-4 & = 0 \\
2x′′-y′′-4 & = 0 \end{align}
Arti double aksen $(′′)$ pada persamaan garis diatas adalah menyimbolkan bayangan garis setelah dua kali di transformasikan. Persamaan bayangan garis setelah ditransformasikan adalah dengan menghilangkan tanda double aksen $(′′)$ yaitu $2x-y-4 = 0$

$(18).$ Diketahui $F=\{9,10,11,12,13,.....,49,50\}$ dan $G$ adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya dapat dinyatakan sebagai hasil penjumlahan tiga atau lebih bilangan-bilangan asli berurutan. Anggota $F\ \cap\ G$ sebanyak...
$(A)\ 14$
$(B)\ 26$
$(C)\ 29$
$(D)\ 36$Alternatif Pembahasan: show

$F=\{9,10,11,12,13,.....,49,50\}$,
$n(F)=42$

$G$ adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya dapat dinyatakan sebagai hasil penjumlahan tiga atau lebih bilangan-bilangan asli berurutan.

Hasil penjumlahan tiga bilangan asli berurutan. Untuk $𝑎=1,2,3,\cdots$ kita dapat anggota bilangan $G$ adalah sebagai berikut:
$𝑎+(𝑎+1)+(𝑎+2)=3𝑎+3$, [Bilangan habis dibagi 3=$3(a+1)$]
$G=6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,42,45,48,\cdots $
Hasil penjumlahan empat bilangan asli berurutan.
$𝑎+(𝑎+1)+(𝑎+2)+(𝑎+3)=4𝑎+6$, [Bilangan jika dibagi 4 sisa 2=$4(a+1)+2$]
$𝐺=10,14,18,22,26,30,34,38,42,46,50,\cdots $
Hasil penjumlahan lima bilangan asli berurutan.
$𝑎+(𝑎+1)+\cdots+(𝑎+4)=5𝑎+10$, [Bilangan habis dibagi 5=$5(a+2)$]
$𝐺=15,20,25,30,35,40,45,50,\cdots$
Hasil penjumlahan enam bilangan asli berurutan.
$𝑎+(𝑎+1)+\cdots+(𝑎+5)=6𝑎+15$, [Bilangan jika dibagi 6 sisa 3=$6(a+2)+3$]
$𝐺=21,27,33,39,45,\cdots$
Hasil penjumlahan tujuh bilangan asli berurutan.
$𝑎+(𝑎+1)+\cdots+(a+6)=7𝑎+21$, [Bilangan habis dibagi 7=$7(a+3)$]
$𝐺=28,35,42,49,\cdots$
Hasil penjumlahan delapan bilangan asli berurutan.
$𝑎+(𝑎+1)+\cdots+(a+7)=8𝑎+28=$, [Bilangan jika dibagi 8 sisa 4=$8(a+3)+4$]
$𝐺=36,44,\cdots$
Hasil penjumlahan sembilan bilangan asli berurutan.
$𝑎+(𝑎+1)+\cdots+(a+8)=9𝑎+36$, [Bilangan habis dibagi 9=$9(a+4)$]
$𝐺=45,\cdots $

Banyak anggota $G$ tak hingga, tetapi anggota $G$ yang merupakan anggota $F$ adalah 9, 10, 12, 14, 15, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 45, 46, 49, dan 50.

$n(F\ \cap\ G)=29$

$(19).$ Kubus $ABCD\ PQRS$ memiliki sisi-sisi yang panjangnya 4 cm. Jika titik $T$ terletak pada perpanjangan garis $CR$ sehinga $RT=CR$, maka luas daerah $TBD$ adalah...$cm^{2}$
$(A)\ 18$
$(B)\ 24$
$(C)\ 32$
$(D)\ 64$Alternatif Pembahasan: show

$AB=4$, $AC=BD=4\sqrt{2}$,
$OC=\frac{1}{2}AC=2\sqrt{2}$, $CT=8$

$\begin{align}
OT^{2} & = OC^{2} + CT^{2} \\
& = (2\sqrt{2})^{2} + 8^{2} \\
& = 8 + 64 \\
OT & = \sqrt{72} \\
& = 6 \sqrt{2} \end{align}$

Luas $\bigtriangleup BDT$ adalah:
$\begin{align}
[BDT] & = \frac{1}{2} BD \cdot OT \\
& = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot 6\sqrt{2} \\
& = 24 \end{align}$

$(20).$ Diketahui $\bigtriangleup ABC$ adalah segitiga siku-siku di $C$ dengan $AB=26\ cm$, $CB=24\ cm$. Di dalam $\bigtriangleup ABC$ terdapat lingkaran dalam. Luas daerah maksimum lingkaran dalam yang dapat dibuat dalam segitiga tersebut adalah...$cm^{2}$
$(A)\ 36 \pi$
$(B)\ 25 \pi$
$(C)\ 16 \pi$
$(D)\ 9 \pi$Alternatif Pembahasan: show

Agar diperoleh luas lingkaran dalam segitiga maksimum maka diusahakan lingkaran menyinggung ketiga sisi segitiga, jika kita gambarkan kurang lebih seperti gambar berikut;

$\begin{align}
AC^{2} & = AB^{2} - BC^{2} \\
& = 26^{2} - 24^{2} \\
& = 676 - 576 \\
AC & = \sqrt{100} \\
& = 10 \end{align}$

Jari-jari lingkaran dalam segitiga adalah:
$r=\frac{L}{s}$
dimana,
$\begin{align}
s & = \frac{1}{2}(a+b+c) \\
& = \frac{1}{2}(10+24+26) \\
& = 30 \end{align}$

$\begin{align}
L & = \frac{1}{2} AC \times BC \\
& = \frac{1}{2} \times 24 \times 10 \\
& = 120 \end{align}$

$\begin{align}
r & = \frac{L}{s} \\
& = \frac{120}{30} \\
& = 4 \end{align}$

Luas lingkaran maksimum, adalah:
$\begin{align}
L & = \pi r^{2} \\
& = \pi\ (4)^{2} \\
& = 16 \pi \end{align}$

$(21).$ Grafik berikut menunjukkan persentase berdasarkan jenis kelamin pada suatu ujian masuk sekolah tinggi dari tahun 2013 sampai 2017. Sedangkan tabel di bawahnya menunjukkan jumlah peserta ujian dan jumlah lulusan, serta komposisi lulusan berdasarkan jenis kelamin.

Total peserta perempuan yang tidak lulus ujian selama lima tahun adalah...orang
$(A)\ 454$
$(B)\ 476$
$(C)\ 494$
$(D)\ 536$Alternatif Pembahasan: show

Informasi yang bisa kita kumpulkan dari grafik dan tabel diatas untuk peserta Perempuan adalah sebagai berikut;

Tahun 2013
Perempuan: $\frac{40}{100} \times 1400 = 560$
Lulus: $\frac{40}{100} \times 800 = 320$
Tidak Lulus: $560-320=240$
Tahun 2014
Perempuan: $\frac{50}{100} \times 800 = 400$
Lulus: $\frac{50}{100} \times 660 = 330$
Tidak Lulus: $400-330=70$
Tahun 2015
Perempuan: $\frac{36}{100} \times 1000 = 360$
Lulus: $\frac{55}{100} \times 500 = 275$
Tidak Lulus: $360-275=85$
Tahun 2016
Perempuan: $\frac{45}{100} \times 500 = 225$
Lulus: $\frac{52}{100} \times 400 = 208$
Tidak Lulus: $225-208=17$
Tahun 2017
Perempuan: $\frac{30}{100} \times 1100 = 330$
Lulus: $\frac{36}{100} \times 800 = 288$
Tidak Lulus: $330-288=42$

Total peserta perempuan tidak lulus adalah:
$240+70+85+17+42=454$

$(22).$ Jika $x^{4}y^{5}z^{2} < 0$ dan $xz < 0$. Pernyataan berikut yang benar adalah...
$(A)\ xyz < 0$, jika $ yz > 0$
$(B)\ \frac{yz}{x} < 0$, jika $xy < 0$
$(C)\ xy < 0$, jika $yz > 0$
$(D)\ xy > 0$, jika $yz > 0$Alternatif Pembahasan: show

Kita coba bermain dari pertidaksamaan;
$x^{4}y^{5}z^{2} < 0$
$(xz)^{2} \cdot x^{2} \cdot y^{5} < 0$
Karena $xz < 0$ $\Rightarrow$ $(xz)^{2} > 0$
$ x^{2} \cdot y^{5} < 0$
Untuk sembarang $x$ $\Rightarrow$ $x^{2} > 0$
$y^{5} < 0$ $\Rightarrow$ $y < 0$

Dari $xz < 0$ dan $y < 0$, hal yang mungkin terjadi adalah;

$x < 0$, $z > 0$ dan $y < 0$
$x > 0$, $z < 0$ dan $y < 0$

Berdasarkan dua kemungkinan nilai $x,\ y,\ \text{dan}\ z$ diatas pernyataan yang benar pada soal adalah $xy < 0$, jika $yz > 0$.

$(23).$ Diberikan bilangan asli dua digit. Peluang bahwa bilangan tersebut memiliki digit penyusun prima dan bersisa 3 jika dibagi 7 adalah...
$(A)\ \frac{1}{45}$
$(B)\ \frac{1}{30}$
$(C)\ \frac{1}{8}$
$(D)\ \frac{1}{4}$Alternatif Pembahasan: show

Ruang Sampel adalah Banyak bilangan asli dua digit.
$S=\{10,11, \cdots , 99 \}$
$n(S)=90$

Kejadian yang diharapkan adalah bilangan yang memiliki digit penyusun prima dan bersisa 3 jika dibagi 7.
Bilangan asli dua digit yang penyusunnya bilangan prima adalah
22, 23, 25, 27,
32, 33, 35, 37,
52, 53, 55, 57,
72, 73, 75, 77.
Diantara bilangan-bilangan tersebut, bilangan yang bersisa 3 jika dibagi 7 [*habis dibagi 7 jika ditambahkan 4] adalah 52 dan 73.
$n(E)=2$

$P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}$
$P(E)=\frac{2}{90}=\frac{1}{45}$

$(24).$ Diketahui grafik fungsi bernilai real $f$ dan $g$ seperti pada gambar berikut.

Jumlah semua nilai $x$ yang memenuhi $f(x)-g(x)=-1$ adalah...
$(A)\ -3-\sqrt{2}$
$(B)\ -1$
$(C)\ 0$
$(D)\ 2$Alternatif Pembahasan: show

Dengan memperhatikan gambar untuk setiap fungsi, beberapa hal dapat kita simpulkan seperti berikut ini;

Fungsi $f$ melalui titik $(2,0)$ dan $(0,-2)$ untuk $x \geq 0$, kita dapat persamaan garis $f(x)=x-2$, untuk $x \geq 0$.
Fungsi $f$ melalui titik $(-2,0)$ dan $(0,-2)$ untuk $x > 0$, kita dapat persamaan garis $f(x)=-x-2$, untuk $x > 0$.

Fungsi $g$ melalui titik $(-2,0)$ dan $(0,2)$ untuk $x < 0$, kita dapat persamaan garis $g(x)=-x$, untuk $x < 0$.
Fungsi $g$ melalui titik $(0,0)$ dan $(2,-2)$ untuk $x \geq 0$, kita dapat persamaan garis $g(x)=-x-2$, untuk $x > 0$.

$f(x)-g(x)=2x-2$, untuk $x > 0$
$f(x)-g(x)=-2x-4$, untuk $x < 0$

Pada soal disampaikan $f(x)-g(x)=-1$, maka:

$2x-2=-1 \text{untuk}\ x > 0$
$2x=1$
$x=\frac{1}{2}$
$-2x-4=-1 \text{untuk}\ x < 0$
$-2x=3$
$x=-\frac{3}{-2}$

Jumlah semua nilai $x$ adalah $\frac{1}{2}-\frac{3}{2}=-1$

$(25).$ Diberikan $\bigtriangleup ABC$. Jika $AC=AB=1\ cm$ dan $BC=\sqrt{3}\ cm$, maka luas $\bigtriangleup ABC$ adalah ... $cm^{2}$.
$(A)\ \frac{1}{2}\sqrt{2}$
$(B)\ \frac{1}{2}\sqrt{3}$
$(C)\ \frac{1}{4}\sqrt{3}$
$(D)\ \frac{1}{4}$Alternatif Pembahasan: show

$\bigtriangleup ABC$ adalah segitiga sama kaki maka:
$\begin{align}
AD^{2} & = AC^{2} - CD^{2} \\
& = 1^{2} - (\frac{1}{2}\sqrt{3})^{2} \\
& = 1-\frac{3}{4} \\
AD & = \sqrt{\frac{1}{4}} \\
& = \frac{1}{2} \end{align}$

Luas $\bigtriangleup ABC$
$\begin{align}
[ABC] & = \frac{1}{2} BC \cdot AD \\
& = \frac{1}{2} \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} \\
& = \frac{1}{4} \sqrt{3} \end{align}$

Matematika NusantaraNajamuddinCMIIWJADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE

Belajar Bersama

Soal dan Pembahasan OSN 2018 Tingkat Kabupaten Matematika SMP (*Kode: OSN.KK.M.R4)

Menu Halaman Statis